Page 208 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 207

¨ ¥
˙
14.3 F ( ) Indeksli Yarı­Öklidyen Uzay F
§ ¦
R uzayında u =( 1  2   ) ve v =(v 1  v 2  v  ) için,

hu vi = − 1 v 1 −  2 v 2 − ··· −   v  +  +1 v +1 + ··· +   v 

biçiminde tanımlanan


h· ·i : R × R → R

fonksiyonuna, R uzayında, (−− − ++) i¸saretinegöretanımlanmı¸s yarı­Öklidyen

| {z } | {z }
 tane − tane
skaler çarpımı denir. Bu skaler çarpımla birlikte R uzayına, ( ) indeksli yarı­Öklid uzayı

denir. Örne˘ gin, (− − + +) i¸saretli yarı Öklid uzayında skaler çarpım :
hu vi = − 1 v 1 −  2 v 2 +  3 v 3 +  4 v 4

4
biçiminde tanımlıdır ve bu skaler çarpımla birlikte R uzayı, E ile gösterilir.
4
2
H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
b
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
split kuaterniyonun çarpımı, kuaterniyonun vektör kısımlarını R uzayı ile özde¸sle¸stirerek,
3
1
(− + +) i¸saretine göre tanımlanmı¸s Lorentziyen skaler çarpım ve vektörel çarpım yardımıyla,
pq =( p + v  )( q + v q )=  p  q + hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p ×  v q

biçiminde ifade edilebilir. Ayrıca, p ve q iki has kuaterniyon ise, bunların çarpımı,
pq = hv p  v q i + v p ×  v q

¸ seklinde, sadece Lorentziyen iç çarpım ve vektörel çarpımla ifade edilebilir. Split kuater­
niyonlar, E yani (− − + +) i¸saretine sahip 4 boyutlu yarı Öklidyen uzayı ile özde¸sle¸stirilir.
4
2
Split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip 3 boyutlu Minkowski (Lorentz)
uzayı ile özde¸sle¸stirilmektedir. Bu durum, split kuaterniyonlar yardımıyla Lorentziyen iç
çarpım ve vektörel çarpımı içeren bir çok vektörel analiz konusunun yorumlanmasını sa˘ glaya­
bilir.

Split Kuaterniyon Çarpımının Matrisle Gösterilmesi
H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
b
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
split kuaterniyonun çarpımı,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2  3  4  1
⎢  2  1  4 − 3 ⎥ ⎢  2 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =  p q
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 − 3  2  1  4
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2  3  4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
qp = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =  p q
⎣  3 − 4  1  2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4  3 − 2  1  4
biçiminde ifade edilebilir. Buradaki,  p ve  p matrislerine sırasıyla soldan çarpım ve sa˘ g­
dan çarpım matrisleri denir. Ayrıca, bu matrislere split kuaterniyonların matris temsilleri de
denilmektedir.