Page 208 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 208
Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 207
¨ ¥
˙
14.3 F ( ) Indeksli YarıÖklidyen Uzay F
§ ¦
R uzayında u =( 1 2 ) ve v =(v 1 v 2 v ) için,
hu vi = − 1 v 1 − 2 v 2 − ··· − v + +1 v +1 + ··· + v
biçiminde tanımlanan
h· ·i : R × R → R
fonksiyonuna, R uzayında, (−− − ++) i¸saretinegöretanımlanmı¸s yarıÖklidyen
| {z } | {z }
tane − tane
skaler çarpımı denir. Bu skaler çarpımla birlikte R uzayına, ( ) indeksli yarıÖklid uzayı
denir. Örne˘ gin, (− − + +) i¸saretli yarı Öklid uzayında skaler çarpım :
hu vi = − 1 v 1 − 2 v 2 + 3 v 3 + 4 v 4
4
biçiminde tanımlıdır ve bu skaler çarpımla birlikte R uzayı, E ile gösterilir.
4
2
H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
b
p = 1 + 2 i + 3 j + 4 k ve q = 1 + 2 i + 3 j + 4 k
split kuaterniyonun çarpımı, kuaterniyonun vektör kısımlarını R uzayı ile özde¸sle¸stirerek,
3
1
(− + +) i¸saretine göre tanımlanmı¸s Lorentziyen skaler çarpım ve vektörel çarpım yardımıyla,
pq =( p + v )( q + v q )= p q + hv p v q i + p v q + q v p + v p × v q
biçiminde ifade edilebilir. Ayrıca, p ve q iki has kuaterniyon ise, bunların çarpımı,
pq = hv p v q i + v p × v q
¸ seklinde, sadece Lorentziyen iç çarpım ve vektörel çarpımla ifade edilebilir. Split kuater
niyonlar, E yani (− − + +) i¸saretine sahip 4 boyutlu yarı Öklidyen uzayı ile özde¸sle¸stirilir.
4
2
Split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip 3 boyutlu Minkowski (Lorentz)
uzayı ile özde¸sle¸stirilmektedir. Bu durum, split kuaterniyonlar yardımıyla Lorentziyen iç
çarpım ve vektörel çarpımı içeren bir çok vektörel analiz konusunun yorumlanmasını sa˘ glaya
bilir.
Split Kuaterniyon Çarpımının Matrisle Gösterilmesi
H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
b
p = 1 + 2 i + 3 j + 4 k ve q = 1 + 2 i + 3 j + 4 k
split kuaterniyonun çarpımı,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 − 2 3 4 1
⎢ 2 1 4 − 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = p q
⎣ 3 4 1 − 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦
4 − 3 2 1 4
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 − 2 3 4 1
⎢ 2 1 − 4 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥
qp = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = p q
⎣ 3 − 4 1 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦
4 3 − 2 1 4
biçiminde ifade edilebilir. Buradaki, p ve p matrislerine sırasıyla soldan çarpım ve sa˘ g
dan çarpım matrisleri denir. Ayrıca, bu matrislere split kuaterniyonların matris temsilleri de
denilmektedir.