Page 208 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 208

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions)                                          207

                     ¨                                     ¥
                               ˙
               14.3   F ( ) Indeksli Yarı­Öklidyen Uzay F
                     §                                     ¦
               R uzayında u =( 1  2   ) ve v =(v 1  v 2  v  ) için,
                
                          hu vi = − 1 v 1 −  2 v 2 − ··· −   v  +  +1 v +1 + ··· +   v 
                                
               biçiminde tanımlanan
                                                           
                                                     
                                             h· ·i : R × R → R
                                                 
               fonksiyonuna, R uzayında, (−− − ++) i¸saretinegöretanımlanmı¸s yarı­Öklidyen
                              
                                          | {z } | {z }
                                             tane  − tane
               skaler çarpımı denir. Bu skaler çarpımla birlikte R uzayına, ( ) indeksli yarı­Öklid uzayı
                                                           
               denir. Örne˘ gin, (− − + +) i¸saretli yarı Öklid uzayında skaler çarpım :
                                     hu vi = − 1 v 1 −  2 v 2 +  3 v 3 +  4 v 4
                                           
                                                             4
               biçiminde tanımlıdır ve bu skaler çarpımla birlikte R uzayı, E ile gösterilir.
                                                                      4
                                                                      2
              H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
              b
                             p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
              split kuaterniyonun çarpımı, kuaterniyonun vektör kısımlarını R uzayı ile özde¸sle¸stirerek,
                                                                      3
                                                                      1
              (− + +) i¸saretine göre tanımlanmı¸s Lorentziyen skaler çarpım ve vektörel çarpım yardımıyla,
                     pq =( p + v  )( q + v q )=  p  q + hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p ×  v q
                                                              
              biçiminde ifade edilebilir. Ayrıca, p ve q iki has kuaterniyon ise, bunların çarpımı,
                                          pq = hv p  v q i + v p ×  v q
                                                       
              ¸ seklinde, sadece Lorentziyen iç çarpım ve vektörel çarpımla ifade edilebilir. Split kuater­
              niyonlar, E yani (− − + +) i¸saretine sahip 4 boyutlu yarı Öklidyen uzayı ile özde¸sle¸stirilir.
                        4
                        2
              Split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip 3 boyutlu Minkowski (Lorentz)
              uzayı ile özde¸sle¸stirilmektedir. Bu durum, split kuaterniyonlar yardımıyla Lorentziyen iç
              çarpım ve vektörel çarpımı içeren bir çok vektörel analiz konusunun yorumlanmasını sa˘ glaya­
              bilir.

              Split Kuaterniyon Çarpımının Matrisle Gösterilmesi
              H split kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
              b
                             p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
              split kuaterniyonun çarpımı,
                                         ⎡                    ⎤ ⎡    ⎤
                                            1 − 2  3    4      1
                                         ⎢   2   1   4 − 3  ⎥ ⎢   2  ⎥
                                pq =     ⎢                    ⎥ ⎢    ⎥  =  p q
                                         ⎣   3   4   1 − 2  ⎦ ⎣   3  ⎦
                                            4 − 3  2    1      4
                                         ⎡                    ⎤ ⎡    ⎤
                                            1 − 2    3   4     1
                                         ⎢   2   1  − 4  3  ⎥ ⎢   2  ⎥
                                qp =     ⎢                    ⎥ ⎢    ⎥  =  p q
                                         ⎣   3 − 4   1   2  ⎦ ⎣   3  ⎦
                                            4   3  − 2  1      4
              biçiminde ifade edilebilir. Buradaki,  p ve  p matrislerine sırasıyla soldan çarpım ve sa˘ g­
              dan çarpım matrisleri denir. Ayrıca, bu matrislere split kuaterniyonların matris temsilleri de
              denilmektedir.
   203   204   205   206   207   208   209   210   211   212   213