Page 213 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

212 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

4. Spacelike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
çarpımına göre daima spacelike bir vektördür.
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ SH olsun. Bu durumda,
b
2
2
2
2
I q =  +  −  −   0
1
2
4
3
ise,
2 2 2 2
0 ≤   − +  +  = hv q  v q i 
3
2
4
1
oldu˘ gundan, v q spacelike olacaktır.
5. Lightlike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
çarpımına göre ya spacelike veya lightlike bir vektördür.
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ LH olsun. Bu durumda,
b
2
2
2
2
I q =  +  −  −  =0
2
4
3
1
ise,
2 2 2 2
0 ≤  = − +  +  = hv q  v q i 
4
1
2
3
oldu˘ gundan, hv q  v q i =0 veya hv q  v q i  0 olabilir. Yani, ya lightlike ya da v q spacelike


olacaktır.
6. Timetlike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
çarpımına göre timelike, spacelike veya lightlike bir vektör olabilir.
Split Kuaterniyonlar Kümesi ve Clifford Cebiri
¡
14.3 Teorem H Split kuaterniyonlar kümesi bir Clifford cebiridir ve  11 R 2 1 ¢ ce­
b
birine izomorftur.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¡ 2 ¢ 2
 11 R Clifford cebiri, x =( 1  2 ) ∈ R için
1
2
 (x)= − +  2 2
1
2
kuadratik formuyla donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. Bu
cebir, {e 1  e 2 } kümesi, R uzayının ortogonal tabanı olmak üzere, {1 e 1  e 2  e 1 e 2 } tarafından
2
2
e =  (e 1 )= −1
1
2
e =  (e 2 )= 1
2
e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
¸ seklinde tanımlanarak üretilir. Birle¸sme özelli˘ ginden faydalanarak çarpım tablosu
· 1 e 1 e 2 e 1 e 2
1 1 e 1 e 2 e 1 e 2
e 1 e 1 −1 e 1 e 2 −e 2
e 2 e 2 −e 1 e 2 1 −e 1
e 1 e 2 e 1 e 2 e 2 e 1 1