Page 213 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 213

212                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              4. Spacelike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
              çarpımına göre daima spacelike bir vektördür.
              q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ SH olsun. Bu durumda,
                                         b
                                                2
                                                     2
                                                              2
                                                          2
                                           I q =  +  −  −   0
                                                1
                                                     2
                                                              4
                                                          3
              ise,
                                           2      2    2   2
                                      0 ≤   − +  +  = hv q  v q i 
                                                       3
                                                  2
                                                           4
                                           1
              oldu˘ gundan, v q spacelike olacaktır.
              5. Lightlike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
              çarpımına göre ya spacelike veya lightlike bir vektördür.
              q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ LH olsun. Bu durumda,
                                         b
                                                          2
                                                              2
                                                2
                                                     2
                                           I q =  +  −  −  =0
                                                     2
                                                              4
                                                          3
                                                1
              ise,
                                           2      2    2   2
                                      0 ≤  = − +  +  = hv q  v q i 
                                                           4
                                           1
                                                  2
                                                       3
              oldu˘ gundan, hv q  v q i =0 veya hv q  v q i  0 olabilir. Yani, ya lightlike ya da v q spacelike
                                 
                                                   
              olacaktır.
              6. Timetlike split kuaterniyonların vektörel kısmı (− + +) i¸saretine sahip Lorentz skaler
              çarpımına göre timelike, spacelike veya lightlike bir vektör olabilir.
                Split Kuaterniyonlar Kümesi ve Clifford Cebiri
                                                                                      ¡
                 14.3   Teorem H Split kuaterniyonlar kümesi bir Clifford cebiridir ve  11 R 2 1  ¢  ce­
                                b
                birine izomorftur.
              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
                   ¡  2  ¢                           2
               11 R  Clifford cebiri, x =( 1  2 ) ∈ R için
                      1
                                                          2
                                                (x)= − +   2 2
                                                          1
                                                2
              kuadratik formuyla donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. Bu
              cebir, {e 1  e 2 } kümesi, R uzayının ortogonal tabanı olmak üzere, {1 e 1  e 2  e 1 e 2 } tarafından
                                    2
                                                    2
                                                   e =  (e 1 )= −1
                                                    1
                                                    2
                                                   e =  (e 2 )= 1
                                                    2
                                          e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
              ¸ seklinde tanımlanarak üretilir. Birle¸sme özelli˘ ginden faydalanarak çarpım tablosu
                                       ·     1      e 1     e 2    e 1 e 2
                                       1     1      e 1     e 2    e 1 e 2
                                       e 1   e 1    −1      e 1 e 2  −e 2
                                       e 2   e 2    −e 1 e 2  1    −e 1
                                       e 1 e 2  e 1 e 2  e 2  e 1  1
   208   209   210   211   212   213   214   215   216   217   218