Page 214 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Split Kuaterniyonlar (Coquaternions) 213

biçiminde bulunabilir. Buna göre,
n o
¡ 2 ¢ 2 2 2
 11 R 1 =  1 + 2 e 1 + 3 e 2 + 4 e 1 e 2 :   ∈ R e =e =(e 1 e 2 ) = − 1 e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
2
1
¸ seklinde ifade edilir ve
e 1 → i e → j e e 2 → k
1
2
¡ ¢
= H oldu˘ gu görülür.
e¸sle¸smeleriyle  11 R 2 ∼ b
2
Split Kuaterniyonlar Kümesi ve Clifford Altcebiri
14.4 Teorem Split kuaterniyonlar kümesi  + ¡ R 3 1 ¢ Clifford cebirinin bir çift altce­
21
biridir.
¢
 + ¡ R 3 ∼ b
= H
1
21
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¡ ¢
2
2
2
3
 21 R 3 2 cebiri, x =( 1  2  3 ) ∈ R için  (x)= − −  +  kuadratik formuyla
3
1
2
3
donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. Bu cebir, {e 1  e 2  e 3 }
R ’ün ortogonal tabanı olmak üzere,
3
{1 e 1  e 2  e 3  e 1 e 2  e 1 e 3  e 2 e 3  e 1 e 2 e 3 }
tarafından üretilir.  + ¡ R 3 ¢ Clifford çift altcebiri ise, üreteçlerden çift çarpımlı olanlarla,
21
2
yani {1 e 1 e 2  e 1 e 3  e 2 e 3 } ile üretilen cebirdir.
2
2
e 2 1 =  (e 1 )= −1 e =  (e 2 )= −1 e =  (e 3 )=1
2
3
e 1 e 2 + e 2 e 1 =0 e 1 e 3 + e 3 e 1 =0 e 2 e 3 + e 3 e 2 =0
e¸sitlikleri ve birle¸sme özelli˘ gini kullanarak
2
2
2
(e 1 e 2 ) = −1 (e 1 e 3 ) =(e 2 e 3 ) =1
oldu˘ gu görülür. Buna göre, e 1 e 2 → i e 1 e 3 → j e 2 e 3 →−k izomorfzimi ile
¢
= H oldu˘ gu görülür.
 + ¡ R 3 ∼ b
1
21
Split Kuaterniyonların 4x4 Reel Matris Temsili
14.5 Teorem Split kuaterniyonlar kümesi M 4×4 (R) matris kümesinin
⎧⎡ ⎤ ⎫
 − 
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢    − ⎥
M 4 (R)= ⎢ ⎥ :     ∈ R ⊂ M 4×4 (R)
⎣    − ⎦
⎪ ⎪
⎪ ⎪
 − 
⎩ ⎭
altkümesine izomorftur. Yani, her split kuaterniyon 4×4 türünden bir reel matrisle temsil
edilebilir.