Page 211 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 211

210                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                     ¨                                                    ¥
               14.5   FSplit Kuaterniyonun Bölünmesi (Sınıflandırılması) F
                     §                                                    ¦
               Split kuaterniyon ifadesindeki split kelimesi ingilizcede bölünme, ayrılma gibi anlamlara
               gelir. Bu bölünme ile ise, split kuaterniyonların sınıflandırılması ifade edilir. Split kuaterni­
               yonlarda,

                                                             2
                                                                  2
                                                        2
                                       I q := qq = qq =  +  −  −  2 4
                                                             2
                                                        1
                                                                  3
                                                                      ¢
                                                          4
                                                                            4
               reel de˘ geri sıfır, negatif veya pozitif olabilir.  ¡ R  − − + + = E uzayı gösterilirse, q
                                                                        ∼
                                                                            2
               split kuaterniyonunu 4 boyutlu bir vektör alarak,
                                               2    2   2    2
                                      −I q = − −  +  +  = hq qi  E 2 4
                                               1
                                                        3
                                                             4
                                                    2
               ¸ seklinde ifade edilebilir. Yani, her split kuaterniyon E uzayının bir elemanı olarak kabul
                                                                4
                                                                2
               edilebilir. Buna göre, a¸sa˘ gıdaki sınıflandırmayı verebiliriz.
                                        4  0 olaca˘ gından q’ya timelike split kuaterniyon
                       I q  0 ise, hq qi
                                       E 2
                                        4  0 olaca˘ gından q’ya spacelike split kuaterniyon
                       I q  0 ise, hq qi
                                       E 2
                       I q =0 ise, hq qi  4 =0 olaca˘ gından q’ya lightlike split kuaterniyon denir
                                         E 2
               (Özdemir­Ergin, 2006).  Timelike, spacelike ve lightlike split kuaterniyonlar kümeleri
               sırasıyla, TH, SH, LH ile gösterilir.
                                 b
                         b
                             b
                     ¨                                ¥
               14.6   F Split Kuaterniyonun Normu F
                     §                                ¦
               q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k split kuaterniyonun normu;
                                        q                q
                                                p           ¯               ¯
                                 kqk =     |I q | =  |qq| =  ¯ 2  2    2   2¯
                                                             +  −  − 
                                                            1    2    3   4
               biçiminde tanımlanır. kqk =1 ise, q’ya birim split kuaterniyon denir. Açıktır ki, lightlike
                                      
               kuaterniyonların normu sıfırdır. Ayrıca, kqk 6=0 ise,
                                                     
                                                         q
                                                  q 0 =
                                                       kqk 
               biçiminde birim split kuaterniyon elde edilebilir.

               14.5 Alıştırma  p =1 + i + k, q =2 + i +3j ve r =1 + 2i + j + k kuaterniyonlarının türlerini
              belirtiniz ve normlarını bulunuz.
                                                                         √
              Yanıt : p timelike ve kpk =1 q spacelike ve kqk =2 r timelike ve krk =  3.
                                                                   
                     ¨                              ¥
               14.7   F Split Kuaterniyonun Tersi F
                     §                              ¦
               q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k split kuaterniyonun tersi, kqk 6=0 olmak üzere,
                                                                
                                                          q
                                                    −1
                                                   q   =
                                                         I q
               biçiminde tanımlanır. Buna göre, spacelike ve timelike kuaterniyonların split kuaterniyon
               çarpımına göre tersleri vardır, fakat lightlike split kuaterniyonların ise tersi yoktur.
   206   207   208   209   210   211   212   213   214   215   216