Page 207 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

206 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
14.2 F Lorentz Uzayında Skaler ÇarpımveVektörelÇarpım F
§ ¦
R uzayında u =( 1  2  3 ) ve v =(v 1  v 2  v 3 ) için,
3
hu vi = − 1 v 1 +  2 v 2 +  3 v 3

ve
¯ ¯
¯ −i j k ¯
¯ ¯
¯
u ×  v =  1  2  3 ¯
¯ ¯
¯ ¯
v 1 v 2 v 3
biçiminde tanımlanan
3
3
3
3
3
h· ·i : R × R → R ·×  · : R × R → R 

3
fonksiyonlarına, R uzayında, (− + +) i¸saretine göre tanımlanmı¸s Lorentziyen skaler ve
3
vektörel çarpım fonksiyonları denir. Bu skaler çarpımla birlikte R uzayına, Lorentz uzayı
3
3
veya 3­boyutlu Minkowski uzayı da denir ve kısaca R veya E ile gösterilir. hu vi =0
1

1
ise, u ve v vektörleri pseudo ortogonal, veya Lorentz anlamında ortogonal vektörlerdir denir.
3
Bu uzayda herhangi bir u ∈ E vektörü için,
1
hu ui  =0 ⇒ u lightlike veya null,
hu ui   0 ⇒ u timelike,
hu ui   0 ⇒ u spacelike,
biçiminde tanımlanır. Ayrıca, u vektörünün normu da,
q
kuk = |hu ui |


¸ seklinde, mutlak de˘ ger kullanılarak tanımlanır. hu ui = ±1 ise u vektörüne birim vektör
denir. Bu uzayda,
©
©
3
2
2
2
2
S ()= u ∈ E : hu ui =  2 ª = (  ): − +  +  =  2 ª
1
1

kümesine  yarıçaplı pseudoküre,
©
ª
©
2
3
2
2
2
H ()= u ∈ E : hu ui = − = (  ): − +  +  = − 2 ª
1

0
kümesine,  yarıçaplı hiperbolik küre ve
© 3 ª © 2 2 2 ª
L = u ∈ E : hu ui =0 = (  ): − +  +  =0
1

kümesine de ı¸sık konisi (lightcone) veya null koni denir (O’Neill, 1983).
2
2
H () Hiperbolik Küre S () Pseudoküre L I¸sık Konisi
0 1
(Çift Kanatlı Hiperboloid) (Tek Kanatlı Hiperboloid) (Koni)