Page 207 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 207

206                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                     ¨                                                      ¥
               14.2   F Lorentz Uzayında Skaler ÇarpımveVektörelÇarpım F
                     §                                                      ¦
               R uzayında u =( 1  2  3 ) ve v =(v 1  v 2  v 3 ) için,
                3
                                         hu vi = − 1 v 1 +  2 v 2 +  3 v 3
                                              
               ve
                                                      ¯          ¯
                                                      ¯ −i  j  k  ¯
                                                      ¯          ¯
                                                      ¯
                                            u ×  v =  1   2  3 ¯
                                                      ¯          ¯
                                                      ¯          ¯
                                                       v 1  v 2  v 3
               biçiminde tanımlanan
                                              3
                                         3
                                                                 3
                                                                       3
                                                                             3
                                h· ·i : R × R → R      ·×  · : R × R → R 
                                    
                               3
               fonksiyonlarına, R uzayında, (− + +) i¸saretine göre tanımlanmı¸s Lorentziyen skaler ve
                                                                         3
               vektörel çarpım fonksiyonları denir. Bu skaler çarpımla birlikte R uzayına, Lorentz uzayı
                                                                       3
                                                                3
               veya 3­boyutlu Minkowski uzayı da denir ve kısaca R veya E ile gösterilir. hu vi =0
                                                                1
                                                                                          
                                                                       1
               ise, u ve v vektörleri pseudo ortogonal, veya Lorentz anlamında ortogonal vektörlerdir denir.
                                         3
               Bu uzayda herhangi bir u ∈ E vektörü için,
                                         1
                                     hu ui   =0 ⇒ u lightlike veya null,
                                     hu ui    0 ⇒ u timelike,
                                     hu ui    0 ⇒ u spacelike,
               biçiminde tanımlanır. Ayrıca, u vektörünün normu da,
                                                      q
                                              kuk =     |hu ui |
                                                  
                                                              
               ¸ seklinde, mutlak de˘ ger kullanılarak tanımlanır. hu ui = ±1 ise u vektörüne birim vektör
               denir. Bu uzayda,
                                                         ©
                                ©
                                      3
                         2
                                                                      2
                                                                           2
                                                                                2
                       S ()= u ∈ E : hu ui =     2  ª  = (  ): − +  +  =  2 ª
                         1
                                      1
                                               
               kümesine  yarıçaplı pseudoküre,
                                                         ©
                                                     ª
                               ©
                                                                           2
                                     3
                                                                      2
                        2
                                                                               2
                      H ()= u ∈ E : hu ui = − = (  ): − +  +  = −         2  ª
                                     1
                                              
                        0
               kümesine,  yarıçaplı hiperbolik küre ve
                               ©     3             ª   ©            2    2    2    ª
                          L = u ∈ E : hu ui =0 = (  ): − +  +  =0
                                     1
                                              
               kümesine de ı¸sık konisi (lightcone) veya null koni denir (O’Neill, 1983).
                     2
                                                   2
                   H () Hiperbolik Küre         S () Pseudoküre               L I¸sık Konisi
                     0                             1
                   (Çift Kanatlı Hiperboloid)  (Tek Kanatlı Hiperboloid)           (Koni)
   202   203   204   205   206   207   208   209   210   211   212