Page 203 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

202 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
13.13 F Genelle¸stirilmi¸s Dönme (Özel Ortogonal) Matrisleri Kümesi F
§ ¦

(V  ):= {R ∈   (V):det R =1}
kümesi, O (V  ) grubunun bir alt grubudur. Bu kümeye, özel ortogonal dönü¸sümler grubu
denir ve bu grubun her elemanına V uzayında bir genelle¸stirilmi¸s dönme matrisidir denir.

Genell¸stirilmi¸s Skaler Çarpım Uzaylarında Dönme Grubu

13.4 Teorem SO(V  ) kümesi, matrislerdeki çarpma i¸slemine göre bir gruptur. Bu
gruba, V uzayının, özel ortogonal grubu veya dönme grubu denir.

Not 13.14 O (V  ):= {R ∈   (V):det R = −1} kümesi, bir grup de˘gildir. Bu kümenin
−
her elemanına V uzayında bir yansıma matrisi denir

Not 13.15 R ∈   (V) matrisinin satırları ve sütunları ortonormal bir taban olmayabilir.
Çünkü,  skalar çarpımıyla birlikte verilen bir V uzayında, u v ∈ V olmak üzere,

 (u v)= u v
¸ seklinde matris çarpımıyla yazılabilece˘gini belirtmi¸stik. Buradaki,  matrisi, V uzayının
kononik tabanına, yani e  =( 1  2    ) olmak üzere, {e 1  e 2  e  } tabanına göre
matrisidir. Bu taban, bir V uzayı için,  skaler çarpımına göre her zaman ortonormal bir taban
olmayabilir. Bu durumda,  matrisi,  (±1 ±1 ±1) formunda bir matris olmayacaktır.
Dolayısıyla da, R R =  e¸sitli˘gini sa˘glayan, V uzayındaki bir R ortogonal matrisinin

satırları da, bir ortonormal çatı olu¸sturmayabilir. Di˘ger yandan,
½
±1  = 
 (f   f  )=
0  6= 
olacak ¸sekilde uygun bir {f 1  f 2  f  } tabanı seçilerek  matrisi,

 =  (±1 ±1 ±1)
formunda bir matris olarak seçilebilir. Bu durumda, R ortogonal matrisinin sütunları da, V
uzayı için bir ortonormal çatı olu¸stururlar.

Örnek 13.10
2
3
R uzayında,  : R × R → R (x y)= 2 1  1 +3 2  2 −  1  2 −  2  1 skaler çarpımı veriliyor.
2
∙ ¸
13 1
Bu skaler çarpım uzayında, R = matrisinin bir dönme matrisi oldu˘ gunu gösteriniz. Bu
−231
dönme matrisinin uzunlu˘ gu korudu˘ gunu görünüz. Bu dönme matrisinin özde˘ gerlerini bulunuz.
Çözüm : Bu uzayda bir R matrisinin bir dönme matrisi olması için gerek ve yeter ko¸sul,
∙ ¸
2 −1
 =
−1 3