Page 205 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

204 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 13.12
R uzayını,  : R ×R → R,  (x y)=  1  1 +2 2  2 − 1  2 − 2  1 iç çarpımıyla birlikte göz önüne
2
2
2
alalım. R uzayının standart kanonik tabanına göre,
2
∙ ¸
1 −1
 =
−1 2
olacaktır. Buna göre, ortogonal matrislerin kümesi
½ ∙ ¸¾
¡ 2 ¢  1 −1
O R  = R : R R =   = −1 2
¸ seklinde tanımlanır. Kanonik taban, bu iç çarpıma göre ortonormal bir taban olmadı˘ gından, R matrisinin
satırları veya sütunları birer ortonormal taban olu¸sturmazlar.  (e 2  e 2 ) 6= ±1’dir. Örne˘ gin,
∙ ¸
1 −2
R =
0 −1
matrisi bir ortogonal matristir. Yani,

R R = 
ko¸sulunu sa˘ glayan bir matristir. Bu matrisin, satırları ve sütunları ortogonal de˘ gildir. Di˘ ger taraftan, bu
iç çarpıma göre, ortonormal olmayan kanonik taban yerine, ortonormal olan,
f 1 =(1 0) ve f 2 =(1 1)
tabanı alınırsa,
 = 
olur. Bu durumda, ortogonal matrislerin kümesi
¡ 2 ¢ ©  ª
O R = R : R R = 

elde edilir ki, bu kümedeki her R matrisinin satırları veya sütunları da, R uzayının,  iç çarpımına göre
2
birer ortonormal tabanı olurlar.

13.15 Alıştırma R uzayını,  : R × R → R,  (x y)=2 1  1 +2 2  2 +  3  3 iç çarpımıyla
3
3
3
birlikte göz önüne alalım. Bu iç çarpım uzayında,
⎡ ⎤
1 1 1
1
R = ⎣ 1 1 −1 ⎦
2
−22 0
matrisinin dönme matrisi oldu˘ gunu gösteriniz.

13.16 Alıştırma R uzayını,  : R ×R → R,  (x y)= −2 1  1 + 2  2 +4 3  3 skaler çarpımıyla
3
3
3
birlikte göz önüne alalım. Bu skaler çarpım uzayında,
⎡ ⎤
3 0 −4
R = ⎣ 0 −1 0 ⎦
2 0 −3
matrisinin dönme matrisi oldu˘ gunu gösteriniz.