Page 215 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

214 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Split Kuaterniyonların 2x2 Reel ve Kompleks Matris Temsilleri

14.6 Teorem Split kuaterniyonlar kümesi M 2×2 (C) kompleks matris kümesinin

½∙ ¸ ¾
xy
M 1 (C)= : x y ∈ C ⊂ M 2×2 (C)
y x
altkümesine ve
½∙ ¸ ¾
 +  + 
M 2×2 (R)= :     ∈ R
 −  − 
reeel matris kümesiyle izomorftur. Yani, H = M 2×2 (R) izomorfizmi vardır. Bir q split
b ∼
kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matrise, q nun kompleks adjoint matrisi denir ve
 (q) ile gösterilir. q ya kar¸sılık gelen reel matrise de, q’nun reel matris temsili denir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 q : H→H, p →  q (p)= pq lineer dönü¸sümünü tanımlayalım. Bir q ∈ H alalım. x y ∈ C
b
b
b
2
olmak üzere, q = x + yj biçiminde yazılabilir. Buna göre, jx = xj ve j =1 oldu˘ gu
kullanılarak,
 q (1) = 1q =1 (x + yj)= x + yj
 q (j)= jq = j (x + yj)= jx + jyj = xj + yjj = y + yj
olur. Yani,  q lineer dönü¸sümünün {1 j} tabanına göre matrisi :
∙ ¸
xy
∈ M 2×2 (C)
y x
bulunur. Di˘ ger yandan, q = a + b + j + k ∈ H split kuaterniyonu için,
b
∙ ¸
 +  + 
 : H → M 2×2 (R)   (q)=
b
 −  − 
dönü¸sümünün birebir, örten ve i¸slemleri koruyan bir dönü¸süm oldu˘ gu kolayca görülebilir.

Örnek 14.2
q =2 + i +3j +2k split kuaterniyonunun kompleks ve reel matris temsillerini bulunuz.

Çözüm : q =2 + i +3j +2k =(2 + i)+(3 + 2i) j = x + yj e¸sitli˘ gin göre, x =2 + i ve y =3 + 2i
oldu˘ gundan, kompleks ve reel matris temsili sırasıyla
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
2+ i 3+2i  +   +  44
 (q)= ve  (q)= =
3 − 2i 2 − i  −   −  20
olur. |det  (q)| = |det  (q)| = kqk oldu˘ gunu görebilirsiniz.

∙ ¸
45
14.7 Alıştırma  = matrisine kar¸sılık gelen split kuaterniyonu ve kompleks matrisi bu­
72
lunuz.
 
3 − i 6+ i
Yanıt : q =3 − i +6j + k (q)=
6 − i 3+ i