Page 215 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 215

214                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir




                Split Kuaterniyonların 2x2 Reel ve Kompleks Matris Temsilleri

                 14.6   Teorem Split kuaterniyonlar kümesi M 2×2 (C) kompleks matris kümesinin

                                            ½∙     ¸          ¾
                                               xy
                                   M 1 (C)=          : x y ∈ C  ⊂ M 2×2 (C)
                                               y x
                altkümesine ve
                                             ½∙              ¸              ¾
                                                 +  + 
                                 M 2×2 (R)=                    :     ∈ R
                                                  −  − 
                reeel matris kümesiyle izomorftur. Yani, H = M 2×2 (R) izomorfizmi vardır. Bir q split
                                                     b ∼
                kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matrise, q nun kompleks adjoint matrisi denir ve
                 (q) ile gösterilir. q ya kar¸sılık gelen reel matrise de, q’nun reel matris temsili denir.



              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
               q : H→H, p →  q (p)= pq lineer dönü¸sümünü tanımlayalım. Bir q ∈ H alalım. x y ∈ C
                                                                               b
                  b
                      b
                                                                                   2
              olmak üzere, q = x + yj biçiminde yazılabilir. Buna göre, jx = xj ve j =1 oldu˘ gu
              kullanılarak,
                            q (1) = 1q =1 (x + yj)= x + yj
                             q (j)= jq = j (x + yj)= jx + jyj = xj + yjj = y + yj
              olur. Yani,  q lineer dönü¸sümünün {1 j} tabanına göre matrisi :
                                              ∙     ¸
                                               xy
                                                     ∈ M 2×2 (C)
                                               y x
              bulunur. Di˘ ger yandan, q = a + b + j + k ∈ H split kuaterniyonu için,
                                                         b
                                                              ∙               ¸
                                                                  +  + 
                                : H → M 2×2 (R)        (q)=
                                   b
                                                                  −  − 
              dönü¸sümünün birebir, örten ve i¸slemleri koruyan bir dönü¸süm oldu˘ gu kolayca görülebilir.



              Örnek 14.2
              q =2 + i +3j +2k split kuaterniyonunun kompleks ve reel matris temsillerini bulunuz.

              Çözüm : q =2 + i +3j +2k =(2 + i)+(3 + 2i) j = x + yj e¸sitli˘ gin göre, x =2 + i ve y =3 + 2i
              oldu˘ gundan, kompleks ve reel matris temsili sırasıyla
                                ∙            ¸             ∙             ¸   ∙      ¸
                                 2+ i   3+2i                  +     +      44
                          (q)=                 ve  (q)=                  =
                                 3 − 2i  2 − i                 −     −     20
              olur. |det  (q)| = |det  (q)| = kqk oldu˘ gunu görebilirsiniz.
                                            
                                 ∙      ¸
                                   45
               14.7 Alıştırma   =        matrisine kar¸sılık gelen split kuaterniyonu ve kompleks matrisi bu­
                                   72
              lunuz.
                                                   
                                           3 − i  6+ i
              Yanıt : q =3 − i +6j + k (q)=
                                           6 − i  3+ i
   210   211   212   213   214   215   216   217   218   219   220