Page 197 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 197
196 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Örnek 13.7
R de, x =( 1 2 3 ) ve y =( 1 2 3 ) için,
3
3
3
h· ·i : R × R → R (x y)= 2 1 1 +2 2 2 + 3 3
iç çarpımı veriliyor.
a) Bu iç çarpıma uygun olarak, bu uzayda vektörel çarpımı tanımlayınız.
b) Bu uzayda, =(1 2 3) ve v =(3 4 5) vektörlerinin vektörel çarpımını bulunuz.
c) Standart vektörel çarpımı kullanacak ¸sekilde bir taban belirleyiniz. u =(1 2 3) ve v =(3 4 5)
vektörlerinin vektörel çarpımını standart vektörel çarpımla bulunuz.
Çözüm : a)
½
6=0 =
(e e )=
0 6=
olacak ¸sekilde, e 1 =(1 0 0) e 2 =(0 1 0) e 3 =(0 0 1) alınabilir. Buna göre, bu tabana göre bu iç
çarpımla ili¸skilendirilmi¸smatris:
⎡ ⎤
20 0
= ⎣ 02 0 ⎦
00 1
p
ve 4 = |det | =2 olur ve vektörel çarpım,
¯ ¯
¯ e 1 e 2 ¯ ¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ 2 2 e 3 ¯ ¯ e 1 e 2 2e 3 ¯
x × y ¯ ¯ = ¯ 1 2 3 ¯
=2 ¯
1 2 3 ¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯ 1 2 3
1 2 3
=( 2 3 − 3 2 3 1 − 1 3 2 1 2 − 2 2 1 )
biçiminde tanımlanır.
b) Tanımlanan vektörel çarpıma göre,
¯ ¯
¯ ¯
e 1 e 2 2e 3
¯ ¯
u × v = ¯ 1 2 3 ¯ =(−2 4 −4)
¯ ¯
3 4 5
¯ ¯
bulunur. u×v vektörünün, tanımlanan iç çarpıma göre, hem ,hem de vektörüne dik oldu˘ gu kolayca
görülebilir.
c) Standart vektörel çarpımı kullanmak için,
½
1 =
hf f i =
0 6=
√ √
olacak ¸sekilde, f 1 =(1 2 0 0) f 2 =(0 1 2 0) f 3 =(0 0 1) alınabilir. {f 1 f 2 f 3 }, R uzayının
3
ortonormal bir tabanıdır. Öncelikle, u ve v vektörlerini bu tabana göre yazmalıyız.
√ √
u =(1 2 3) = 2f 1 +2 2f 2 +3f 3
√ √
v =(3 4 5) = 3 2f 1 +4 2f 2 +5f 3
oldu˘ gu bulunabilir. O halde,
¯ ¯
¯ f 1 f 2 f 3 ¯
¯ √ √ ¯ √ √
u × v = ¯ 2 2 2 3 ¯ = −2 2f 1 +4 2f 2 − 4f 3
¯ √ √ ¯
3 24 2 5
¯ ¯
elde edilir. Bu vektörü ise, tekrar R uzayının standart tabanına göre yazarsak,
3
u × v =(−2 4 −4)
bulunur.
