Page 195 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 195

194                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                     ¨                                    ¥
               13.8   F Genelle¸stirilmi¸s Vektörel Çarpım F
                     §                                    ¦
               R uzayında verilen bir  : V × V → R skaler çarpımı için,
                
                                             E = {e 1  e 2  e 3  e  }
               kümesi V uzayının bir ortogonal tabanı olsun. Yani,  (e   e  )=   olmak üzere,
                                            ½
                                                 =0 6=  ise,
                                                 6=0 =  ise,
               ko¸sulları sa˘ glansın. E tabanına göre,  skaler çarpımıyla ili¸skilendirilmi¸smatris,
                                                                             s
                                                                                
                                                                 p             Q
                          =  ( 11  22   )  ve  ∆ =  |det | =      
                                                                               =1
               sayısı,  skaler çarpımının E tabanına göre sabiti olsun. (V) uzayında,
                                              e 
                                                  u 1  u 2  u −1
                                               
               vektörüyle olu¸sturulan  ×  türünden matrisin determinantının, ∆ katına, yani,
                                                               µ                   ¶
                                                                 e 
                          V (u 1 × u 2 × u 3 ×· · · × u −1 )= ∆ det   u 1  u 2  u −1
                                                                  
               vektörüne,  1  2   −1 vektörlerinin, (V) uzayındaki vektörel çarpımı denir.
              Bu tanıma göre, (R ) uzayında verilen  − 1 tane u 1  u 2  u −1 vektörlerinin vektörel
                                
                          p
              çarpımı, ∆ =   |det | iç çarpım sabiti olmak üzere,
                                                ¯                                   ¯
                                                     e 1       e 2            e 
                                                ¯                     ···           ¯
                                                ¯ (e 1  e 1 )  (e 2  e 2 )  (e   e  ) ¯ ¯
                                                ¯
                                                ¯                                   ¯
                                                     11       12    ···      1
                                                ¯                                   ¯
                    V(u 1 × u 2 ×· · · × u −1 )= ∆  ¯   21   22    ···      2  ¯      (13.2)
                                                ¯                                   ¯
                                                ¯    . .        . .    . .     . .  ¯
                                                ¯    .          .      .       .    ¯
                                                ¯                                   ¯
                                                ¯   (−1)1   (−1)2  ···   (−1)  ¯
              biçiminde tanımlanır. Elde edilen vektör, u 1  u 2  u −1 vektörlerin tamamına ortogonal bir
              vektördür. Yani,  =1 2   − 1 için,
                                       (V (u 1 × u 2 × ··· × u −1 )  u  )=0
              e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
                Not : Burada tanımlanan vektörel çarpım yerine, uygun ortonormal tabanlar seçilerek, standart vek­
              törel çarpım da kullanılabilir. Fakat, bu durum vektörlerin her defasındabutabanagöreyazılmı¸sol­
              masını gerektirir. Burada, tanımlanan vektörel çarpımda ise, standart tabana göre i¸slemler yapılır.



              Örnek 13.4
                   3
              V = R olmak üzere, Öklid uzayında vektörel çarpımında,  11 =  22 =  33 =1 ve ∆ =1oldu˘ gu
              kolayca görülebilir. Buna göre,
                                                    ¯              ¯
                                                    ¯              ¯
                                                      e 1  e 2  e 3
                                                    ¯              ¯
                                          u 1 × u 2 =  ¯   11   12   13  ¯
                                                    ¯              ¯
                                                    ¯              ¯
                                                      21   22   23
              ¸ seklinde tanımlanır. Bu, iyi bilinen standart Öklidyen vektörel çarpımdır.
   190   191   192   193   194   195   196   197   198   199   200