Page 195 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 195
194 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
¨ ¥
13.8 F Genelle¸stirilmi¸s Vektörel Çarpım F
§ ¦
R uzayında verilen bir : V × V → R skaler çarpımı için,
E = {e 1 e 2 e 3 e }
kümesi V uzayının bir ortogonal tabanı olsun. Yani, (e e )= olmak üzere,
½
=0 6= ise,
6=0 = ise,
ko¸sulları sa˘ glansın. E tabanına göre, skaler çarpımıyla ili¸skilendirilmi¸smatris,
s
p Q
= ( 11 22 ) ve ∆ = |det | =
=1
sayısı, skaler çarpımının E tabanına göre sabiti olsun. (V) uzayında,
e
u 1 u 2 u −1
vektörüyle olu¸sturulan × türünden matrisin determinantının, ∆ katına, yani,
µ ¶
e
V (u 1 × u 2 × u 3 ×· · · × u −1 )= ∆ det u 1 u 2 u −1
vektörüne, 1 2 −1 vektörlerinin, (V) uzayındaki vektörel çarpımı denir.
Bu tanıma göre, (R ) uzayında verilen − 1 tane u 1 u 2 u −1 vektörlerinin vektörel
p
çarpımı, ∆ = |det | iç çarpım sabiti olmak üzere,
¯ ¯
e 1 e 2 e
¯ ··· ¯
¯ (e 1 e 1 ) (e 2 e 2 ) (e e ) ¯ ¯
¯
¯ ¯
11 12 ··· 1
¯ ¯
V(u 1 × u 2 ×· · · × u −1 )= ∆ ¯ 21 22 ··· 2 ¯ (13.2)
¯ ¯
¯ . . . . . . . . ¯
¯ . . . . ¯
¯ ¯
¯ (−1)1 (−1)2 ··· (−1) ¯
biçiminde tanımlanır. Elde edilen vektör, u 1 u 2 u −1 vektörlerin tamamına ortogonal bir
vektördür. Yani, =1 2 − 1 için,
(V (u 1 × u 2 × ··· × u −1 ) u )=0
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
Not : Burada tanımlanan vektörel çarpım yerine, uygun ortonormal tabanlar seçilerek, standart vek
törel çarpım da kullanılabilir. Fakat, bu durum vektörlerin her defasındabutabanagöreyazılmı¸sol
masını gerektirir. Burada, tanımlanan vektörel çarpımda ise, standart tabana göre i¸slemler yapılır.
Örnek 13.4
3
V = R olmak üzere, Öklid uzayında vektörel çarpımında, 11 = 22 = 33 =1 ve ∆ =1oldu˘ gu
kolayca görülebilir. Buna göre,
¯ ¯
¯ ¯
e 1 e 2 e 3
¯ ¯
u 1 × u 2 = ¯ 11 12 13 ¯
¯ ¯
¯ ¯
21 22 23
¸ seklinde tanımlanır. Bu, iyi bilinen standart Öklidyen vektörel çarpımdır.
