Page 183 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 183

182                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                        Dual Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları

              Her birim kuaterniyonun bir dönmeye kar¸sılık geldi˘ gini görmü¸stük. Yani,

                                              q =cos  + n sin 
              birim kuaterniyonu, n vektörü etrafında 2 açısı kadar dönmeyi ifade eder. Bu dönmeye
              kar¸sılık gelen matrisi R ile gösterelim. u =( 1  2  3 ) ile de öteleme vektörünü gösterelim.
              Bu durumda,


                                                   Rv + u
              vektörü, v vektörünün önce döndürülüp sonra, u vektörü kadar ötelenmesini ifade eder. Bu
              döndürüp ve öteleme hareketini bir dual kuaterniyonla ifade edebiliriz.



                Birim Dual Kuaterniyon Elde Etme


                 12.3   Teorem q =cos  + n sin  birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
                üzere,
                                                         ε
                                                Q = q + uq
                                                         2
                biçiminde tanımlanan dual kuaterniyon birim dual kuaterniyondur.


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
                                                    r
                                           q
                                                      ³     ε   ´³     ε   ´
                                 kQk =       QQ =       q + uq     q + uq
                                                            2          2
                                           r
                                                   ε       ε
                                        =    qq + uqq + qqu
                                                   2       2
                                           r
                                                     ε         ε
                                                           2
                                                 2
                                                                     2
                                        =    kqk + u kqk +       kqk u
                                                     2         2
                                           r
                                                 ε
                                        =    1+    (u + u)
                                                 2
                                        =1
              oldu˘ gundan, Q bir birim dual kuaterniyondur.
              Bu dual kuaterniyonu
                                    ε
                           Q = q + uq
                                    2
                                                 ε
                             =(cos  + n sin )+ u (cos  + n sin )
                                                 2
                                                 ε
                             =(cos  + n sin )+   (u cos  + un sin )
                                                 2
                                                 ε
                             =(cos  + n sin )+   (u cos  +(− hu ni + u × n)sin )
                                                 2
              biçiminde de ifade edebiliriz.
   178   179   180   181   182   183   184   185   186   187   188