Page 183 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

182 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Dual Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları

Her birim kuaterniyonun bir dönmeye kar¸sılık geldi˘ gini görmü¸stük. Yani,

q =cos  + n sin 
birim kuaterniyonu, n vektörü etrafında 2 açısı kadar dönmeyi ifade eder. Bu dönmeye
kar¸sılık gelen matrisi R ile gösterelim. u =( 1  2  3 ) ile de öteleme vektörünü gösterelim.
Bu durumda,

Rv + u
vektörü, v vektörünün önce döndürülüp sonra, u vektörü kadar ötelenmesini ifade eder. Bu
döndürüp ve öteleme hareketini bir dual kuaterniyonla ifade edebiliriz.

Birim Dual Kuaterniyon Elde Etme

12.3 Teorem q =cos  + n sin  birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
üzere,
ε
Q = q + uq
2
biçiminde tanımlanan dual kuaterniyon birim dual kuaterniyondur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
r
q
³ ε ´³ ε ´
kQk = QQ = q + uq q + uq
2 2
r
ε ε
= qq + uqq + qqu
2 2
r
ε ε
2
2
2
= kqk + u kqk + kqk u
2 2
r
ε
= 1+ (u + u)
2
=1
oldu˘ gundan, Q bir birim dual kuaterniyondur.
Bu dual kuaterniyonu
ε
Q = q + uq
2
ε
=(cos  + n sin )+ u (cos  + n sin )
2
ε
=(cos  + n sin )+ (u cos  + un sin )
2
ε
=(cos  + n sin )+ (u cos  +(− hu ni + u × n)sin )
2
biçiminde de ifade edebiliriz.