Page 183 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 183
182 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Dual Kuaterniyonların Geometrik Uygulamaları
Her birim kuaterniyonun bir dönmeye kar¸sılık geldi˘ gini görmü¸stük. Yani,
q =cos + n sin
birim kuaterniyonu, n vektörü etrafında 2 açısı kadar dönmeyi ifade eder. Bu dönmeye
kar¸sılık gelen matrisi R ile gösterelim. u =( 1 2 3 ) ile de öteleme vektörünü gösterelim.
Bu durumda,
Rv + u
vektörü, v vektörünün önce döndürülüp sonra, u vektörü kadar ötelenmesini ifade eder. Bu
döndürüp ve öteleme hareketini bir dual kuaterniyonla ifade edebiliriz.
Birim Dual Kuaterniyon Elde Etme
12.3 Teorem q =cos + n sin birim kuaterniyon ve u herhangi bir vektör olmak
üzere,
ε
Q = q + uq
2
biçiminde tanımlanan dual kuaterniyon birim dual kuaterniyondur.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u = −u oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
r
q
³ ε ´³ ε ´
kQk = QQ = q + uq q + uq
2 2
r
ε ε
= qq + uqq + qqu
2 2
r
ε ε
2
2
2
= kqk + u kqk + kqk u
2 2
r
ε
= 1+ (u + u)
2
=1
oldu˘ gundan, Q bir birim dual kuaterniyondur.
Bu dual kuaterniyonu
ε
Q = q + uq
2
ε
=(cos + n sin )+ u (cos + n sin )
2
ε
=(cos + n sin )+ (u cos + un sin )
2
ε
=(cos + n sin )+ (u cos +(− hu ni + u × n)sin )
2
biçiminde de ifade edebiliriz.