Page 177 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

176 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Has dual kuaterniyonlar kümesi ile, dual vektör uzayı izomorftur. Gerçekten de, her has dual
kuaterniyonu
bi + cj + dk =( 1 + ε 2 ) i +( 1 + ε 2 ) j +( 1 + ε 2 ) k
=( 1 i +  1 j +  1 k)+ ε ( 2 i +  2 j +  2 k)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1  2
= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∈ D 3
 1 + ε  2
 1  2
= u + εu ∗
biçiminde yazabiliriz.
O halde, her dual vektörün geometrik yorumu, has dual kuaterniyonlar için de geçerlidir. Yani,
her

q = bi + cj + dk =( 1 + ε 2 ) i +( 1 + ε 2 ) j +( 1 + ε 2 ) k
has dual kuaterniyonu, uzayda
∗
u =  2 i +  2 j +  2 k
vektörüne dik olan düzlemde bulunan, do˘ grultusu ve yönü
u =  1 i +  1 j +  1 k
ile belirli yönlü do˘ gru parçasına kar¸sılık gelir.

Örnek 12.1
 ()= ( − 1 2 − 2 2 − 1) yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonu bulunuz.
1
Çözüm : Birim yönlü do˘ grultman vektörü u = (1 2 2) vektörüdür.  =(1 2 1) do˘ gru üzerindeki
3
−−→
herhangi bir noktadır ve  = x olmak üzere,
¯ ¯
i j k
¯ ¯
¯ ¯
u = x × u = 132323 =(−23 13 0)
∗
¯
¯
¯ ¯
1 2 1
¯ ¯
alınabilir. Böylece,
1 1
∗
Q = u + u ε = (1 2 2) + ε (−2 1 0)
3 3
1
= (1 − 2ε 2+ ε 2)
3
elde edilir. Bu birim dual vektöre kar¸sılık gelen has birim dual kuaterniyon da,
1
Q = ((1 − 2ε) i +(2+ ε) j +2k)
3
bulunur.

12.1 Alıştırma  ()=( − 1 2 2) yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonu
bulunuz.
1
Yanıt : Q = (i +(2 + 2) j +(2 − 2) k) 
3