Page 177 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 177

176                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Has dual kuaterniyonlar kümesi ile, dual vektör uzayı izomorftur. Gerçekten de, her has dual
              kuaterniyonu
                           bi + cj + dk =( 1 + ε 2 ) i +( 1 + ε 2 ) j +( 1 + ε 2 ) k
                                         =( 1 i +  1 j +  1 k)+ ε ( 2 i +  2 j +  2 k)
                                             ⎡ ⎤      ⎡ ⎤
                                                1       2
                                         =   ⎣ ⎦      ⎣ ⎦   ∈ D 3
                                                1 + ε  2
                                                1       2
                                         = u + εu   ∗
              biçiminde yazabiliriz.
              O halde, her dual vektörün geometrik yorumu, has dual kuaterniyonlar için de geçerlidir. Yani,
              her

                           q = bi + cj + dk =( 1 + ε 2 ) i +( 1 + ε 2 ) j +( 1 + ε 2 ) k
              has dual kuaterniyonu, uzayda
                                               ∗
                                             u =  2 i +  2 j +  2 k
              vektörüne dik olan düzlemde bulunan, do˘ grultusu ve yönü
                                              u =  1 i +  1 j +  1 k
              ile belirli yönlü do˘ gru parçasına kar¸sılık gelir.



              Örnek 12.1
               ()= ( − 1 2 − 2 2 − 1) yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonu bulunuz.
                                                     1
              Çözüm : Birim yönlü do˘ grultman vektörü u =  (1 2 2) vektörüdür.  =(1 2 1) do˘ gru üzerindeki
                                                     3
                                  −−→
              herhangi bir noktadır ve  = x olmak üzere,
                                               ¯            ¯
                                                 i    j   k
                                               ¯            ¯
                                               ¯            ¯
                                  u = x × u = 132323 =(−23 13 0)
                                    ∗
                                                            ¯
                                               ¯
                                               ¯            ¯
                                                1    2    1
                                               ¯            ¯
              alınabilir. Böylece,
                                                     1          1
                                                ∗
                                    Q = u + u ε =     (1 2 2) + ε (−2 1 0)
                                                     3          3
                                           1
                                       =     (1 − 2ε 2+ ε 2)
                                           3
              elde edilir. Bu birim dual vektöre kar¸sılık gelen has birim dual kuaterniyon da,
                                             1
                                        Q =   ((1 − 2ε) i +(2+ ε) j +2k)
                                             3
              bulunur.

               12.1 Alıştırma   ()=( − 1 2 2) yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen birim has dual kuaterniyonu
              bulunuz.
                        1
              Yanıt : Q =  (i +(2 + 2) j +(2 − 2) k) 
                        3
   172   173   174   175   176   177   178   179   180   181   182