Page 229 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

228 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

k

u
R q(u)

i
j

Ayrıca, q =cosh  + k sinh  için,
⎡ ⎤
cosh 2 sinh 2 0
R q = ⎣ sinh 2 cosh 2 0 ⎦
b
0 0 1
elde edilir.

14.14 Alıştırma Spacelike vektörel kısımlı q =cosh  + j sinh  timelike kuaterniyonuna kar¸sılık
gelen dönme matrisinin u =cosh i +sinh j spacelike vektörünü 2 kadar hiperbolik olarak döndür­
dü˘ günü gösteriniz. R q matrisinin
b
⎡ ⎤
cosh  0 sinh 
R q = ⎣ 0 1 0 ⎦
b
sinh  0cosh 
oldu˘ gunu görünüz.

Örnek 14.11
q =2 + i +2k timelike kuaterniyonuna kar¸sılık gelen dönmeyi yorumlayınız. Dönme hareketi hangi
düzlemde olu¸sur? Bu düzlemdeki, u =(2 2 1) spacelike vektörü bu dönme sonucunda ne olur?

Çözüm : Vektör kısmı spacelike oldu˘ gundan, bir hiperbolik dönme söz konusudur. q kuaterniyonuna
kar¸sılık gelen dönme matrisi (14.1)’den
⎡ ⎤
98 −4
R q = ⎣ 87 −4 ⎦
b
44 −1
olarak bulunur. Ayrıca,
√ ³ ´
q =2 + i +2k =2 + 3 i+2k
√
3
2
1
oldu˘ gundan, q timelike kuaterniyonu, n =( √  0 √ ) spacelike ekseni etrafındaki cosh  =2 ol­
3 3
mak üzere, 2 kadar hiperbolik dönmeyi ifade eder. Dönme hareketi, n vektörüne pseudo­ortogonal
düzlemde yani − +2 =0 düzleminde olu¸sur.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
98 −4 2 30
R q (u)= ⎣ 87 −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = 26 ⎦
⎣
b
44 −1 1 15
elde edilir.