Page 363 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

OLASILIK ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 4.2

19. {1, 2, 3, …, 2010} kü me si nin her bir ele ma ný bir ka ðý da ya zý la rak bir tor ba ya ko nu -
yor. Tor ba dan rast ge le bir ka ðýt çe ki li yor. Çe ki len ka ðýt ta ki sa yý a sa yý sý ola rak ya zýl dýk -
tan son ra tor ba ya ge ri ko nu yor. Da ha son ra bir kâðýt çe ki le rek, çe ki len bu sa yý da b sa -
yý sý ola rak ya zý lý yor. Ay ný þek li de de vam edi le rek c sa yý sý ya zý lý yor.

Bu na gö re a.b.c + a.b + a top la mý nýn 3 ile bö lü nen bir sa yý ol ma sý ola sý lý ðý ne dir?
Çö züm:
Çö züm:
N = a.b.c + a.b + a = a(b.c + b + 1) sa yý sýn da a sa yý sý 3 ile bö lü nü yor sa N sa yý sý 3
ile bö lü nür. 2010 3 ile bö lü nen bir sa yý ol du ðun dan tor ba dan 3 ile bö lü nen bir a sa yý -

sý nýn çe kil me si ola sý lý ðý

Þa yet a sa yý sý 3 ile bö lün mü yor sa, b.c + b + 1 ayý sý 3 ile bö lü nen bir sa yý ol ma lý dýr.
b.c + b + 1 ayý sý 3 ile bö lü nen bir sa yý ise, b ve b gi bi iki sa yý ta ným la ya lým.
0 1
b {0, 1, 2} için b = 3b + b dir. b sa yý sý nýn ala bi le ce ði her bir de ðer ay ný ola sý -
1 0 1 1
lýk ta dýr. Ay ný þe kil de c ve c sa yý la rý ný ta ným la ya lým. Bu na gö re,
0 1
b.c + b + 1= (3b + b )(3c + c ) + 3b + b + 1
1
0
1
0
0
1
= 3(b c + c b + c b + b ) + b c + b + 1 dir.
0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
b.c + b + 1 sa yý sý an cak ve an cak b c + b + 1 top la mý nýn 3 ile bö lün me si du ru mun -
1 1 1
da 3 e bö lü nür. Bu da b = 1, c = 1 ve ya b = 2, c = 0 du ru mun da ger çek le þir.
1 1 1 1
b = 1, c = 1 ve ya b = 2, c = 0 ol ma sý ola sý lýk la rý
1 1 1 1
Ara nan ola sý lýk ise,

20. Ali, Os man ve Em re 6 raundluk bir oyun oy nu yor lar. Her ra un dun bir ka za na ný mut -
la ka var ve her ra un dun so nuç la rý bir bi rin den ba ðým sýz dýr. Her bir ra un da Ali'nin ka -
zan ma ola sý lý ðý ve Osman'ýn ka zan ma ola sý lý ðý Em re'nin iki ka tý dýr. Bu na gö re

Ali'nin üç ra un du, Os man'ýn iki ra un du ve Em re'nin bir ra un du ka zan ma ola sý lý ðý ne -
dir?

362 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk