Page 257 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1

13. {1, 2, 3, ..., n} kü me si nin iki ele man lý alt kü me le ri nin kaç ta ne si nin ele man la rý top -
la mý n den bü yük de ðil dir?

1 1
2
2

A) (n 3n 2) B) 2n C) (n n )

2 2
2
1 (n 1)
2
) E)
D) (n n
2 4
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
So ru yu ön ce ele man sa yý sý 3 olan bir kü me için aça lým. Kü me mi zin ele man la rý
{1, 2, 3} ol sun Bu kü me nin 2 ele man lý alt kü me le ri {1, 2}, {1, 3} ve {2, 3} tür. Bun -
lar dan, ele man la rý top la mý 3 ten bü yük ol ma yan sa de ce {1, 2} dir. Ya ni 1 ta ne dir.
Þim di bu du ru mu n' nin tek ve çit ol ma du ru mu na gö re ge nel le ye lim.
i) n = 2k ise, iki ele man lý alt kü me nin ele ma ný en kü çük ele ma ný nýn 1, 2, 3, … ol -
ma sý du ru mu na gö re, ele man la rý top la mý n den bü yük ol ma yan lar,
{1, 2}, {1, 3}, …, {1, 2k – 1} 2k – 2 ta ne
{2, 3}, {2, 4}, …, {2, 2k – 2} 2k – 4 ta ne
.
.
.
{k – 1, k + 1}, {k – 1, k} 2 ta ne
Bu na gö re bu sa yý la rýn top la mý; 2 + 4 + 6 + ... + 2k – 2 = k(k – 1) dir.

ii) n = 2k + 1 ise, iki ele man lý alt kü me nin ele ma ný en kü çük ele ma ný nýn 1, 2, 3,
… ol ma sý du ru mu na gö re, ele man la rý top la mý n den bü yük ol ma yan lar,
{1, 2}, {1, 3}, …, {1, 2k} 2k – 1 ta ne
{2, 3}, {2, 4}, …, {2, 2k – 1} 2k – 3 ta ne
.
.
.
{k, k + 1} 1 ta ne
2
Bu na gö re bu sa yý la rýn top la mý; 1 + 3 + 5 + ... + 2k – 1 = k dir.

n için ara nan top lam

256 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk