Page 254 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1 SAYMA YÖNTEMLERÝ

7. Bi yo lo ji öðet me ni öð ren ci le rin den yu var lak bir ma sa et ra fýn da otur ma la rý ný söy lü yor.
Ma sa ya otu ran öð ren ci ler den er kek le rin sa yý sý kýz öð ren ci le rin sa yý sý nýn üç ka tý dýr.
Öð ret men ma sa nýn et ra fýn da do la þýr ken, yan ya na otu ran ay ný cin si yet te ki öð ren ci iki -
li si nin fark lý cin si yet te olan (kýz-er kek) öð ren ci iki li si nin iki ka tý ol du ðu nu fark edi yor.
Bu na gö re, ma sa nýn et ra fý na otu ran öð ren ci le rin sa yý sý en az kaç olur?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
Kýz öð ren ci le rin sa yý sý x ve er kek öð ren ci le rin sa yý sý y
ol sun. Bu na gö re y = 3x olur ve top lam öð ren ci sa yý -
sý da 4x olur. Fark lý cin si yet te olan (kýz-er kek) öð ren -

ci iki li si nin sa yý sý a ise ay ný cin si yet te ki öð ren ci iki li si -
nin sa yý sý (er kek-er kek ve ya kýz-kýz) 2a olur. Öð ren ci
iki li le ri nin sa yý sý, her öð ren ci iki de fa sa yý la ca ðýn dan

öð ren ci sa yý sý ka dar dýr.

+
Bu na gö re, 3a = 4x olup a, x N ol du ðun dan, öð -
ren ci sa yý sý nýn en az ol ma sý için x = 3 ol ma lý Bu da
en az öð ren ci sa yý sý nýn 12 ol ma sý de mek tir. Bu du ru mun ör ne ði ise þe kil de ki gi bi dir.

8. A = {1, 2, 3, …, 11, 12} kü me si ve ri li yor. A kü me si nin iki ele ma nýn top la mý 13 ol ma -
yan kaç fark lý alt kü me si var dýr?

A) 64 B) 243 C) 729 D) 2014 E) Hiçbi ri
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
A = {1, 2, 3, …, 11, 12} kü me si ni top lam la rý 13 olan iki ele ma ný ala rak {1, 12},
{2, 11}, {3, 10}, {4, 9}, {5, 8} ve {6, 7} þek lin de iki li ler oluþ tu ra lým. Bu iki li ler den
bi ri alt kü me de var sa di ðe ri ol ma ma lý. Bu na gö re alt kü me de, {1, 12} iki li sin den 1
ola bi lir, 12 ola bi lir ve ya hiç bi ri ol ma ya bi lir. Bu da üç fark lý du rum de mek tir. Ya ni her
6
bir iki li için alt kü me de ol ma du ru mu için üç fark lý se çe nek var dýr. Bu da 3 = 729
de mek tir.

9. {1, 2, 3, …, 20} kü me si nin, her han gi iki ele ma nýn top la mý 3 ün ka tý ol ma ya cak þe kil -
de ele man lar dan olu þan bir alt kü me si en faz la kaç ela man lý ola bi lir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

253
Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 253