Page 253 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1

5. Bir gün sý nýf ta öð ret men öð ren ci le rin den her bi ri nin, sý nýf ta öğrencinin ken di si ile ay -
ný so ya dý ta þý yan la rýn sa yý sý ný bir ka ðý da, ay rý bir ka ðý da da do ðum gü nü ay ný olan la -
rýn sa yý sý ný yaz ma la rý ný is ti yor. Da ha son ra tüm ka ðýt la rý top la yan öð ret men so nuç la -
rý, 0, 1, 2, 3, …, 10 þek lin de ya zý yor. Bu na gö re sý nýf ta en az kaç öð ren ci var dýr?

A) 24 B) 27 C) 32 D) 33 E) 44
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
Öð ren ci le ri ay ný so ya dý ta þý yan la ra gö re grup la ya lým. Ay ný so ya dý ta þý yan bir grup ta k
ta ne öð ren ci var sa, bu grup ta ki k ta ne öð ren ci ay ný so ya dý ta þý yan la rýn sa yý sý ný ya zar -
ken k – 1 ya za cak týr. Ay ný du rum, do ðum gü nü ay ný olan lar için de ge çer li dir. Öð ren -
ci le rin ver dik le ri ce vap la rýn sa yý la rý 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ol du ðu na gö re, bir
grup ta ki le rin sa yý la rý en az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 þek lin de ola cak týr. Her öð -
ren ci (so ya dý ve do ðum gü nü ne gö re) iki gru ba ait ol du ðun dan, öð ren ci le rin sa yý sý en
az; 1 + 2 + 3 + ... + 11 = 66 ve 66 : 2 = 33 ola cak týr. Þim di bu du ru mun ger çek -
leþ me si ni sað la yan bir ör nek ve re lim. Ay ný so ya dý ta þý yan la rýn ver dik le ri ce vap lar (sa -
yý lar) 2, 8, 9, 10 ol sun. Bu na gö re ay ný so ya dý ta þý yan grup lar da ki öð ren ci sa yý la rý sý -
ra sýy la 3, 9, 10, 11 ola cak týr. Bu la rýn top la mý ise 33 tür. Do ðum gü nü ay ný olan öð ren -
ci le rin yaz dýk la rý sa yý lar (haf ta da 7 gün ol du ðu na gö re) 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7 ol sun. Bu na
gö re ay ný do ðum gü nü ne sa hip öð ren ci le rin grup la rýn da ki sa yý lar sý ra sýy la 1, 2, 4, 5,
6, 7, 8 olup bun la rýn top la mý da 33 tür.

6. Kar þý ya ka il çe si, Zü bey de Ha ným ma hal le sin de ki her okul bil gi ya rýþ ma sý na üç öð ren -
ci si ni gön der di. Em re, Os man ve Ali ay ný oku lun ya rýþ ma cý öð ren ci le ri dir. Tüm ya rýþ -
ma cý lar sý nav gi riþ kart la ný al mak için sý ra ya gir dik le rin de, Os man sý ra nýn tam or ta -
sýn da, ken din den ön ce ki ler le son ra ki le rin eþit sa yý da, ol du ðu nu fark edi yor. Os man'ýn
ar ka sýn da ki sý ra da olan Em re ve Ali nin sý ra da ki yer le ri sý ra sýy la 19. ve 28. Ol du ðu na
gö re ya rýþ ma ya kaç okul ka týl mýþ týr?

A) 8 B) 10 C) 11 D) 13 E) 33
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
Os man sý ra nýn tam or ta sýn da ol du ðu na gö re, Os man'dan ön ce ki le rin sa yý sý x ol sun.
Bu na gö re sý ra da ki öð ren ci sa yý sý 2x + 1 N dir. Ya ni ya rýþ ma cý sa yý sý tek tir. Os man'ýn
ar ka sýn da olan Em re nin sý ra sý 19. ise, Em re Os man'ýn he men ar ka sýn da bi le ol sa x
17 olur. Ali sý ra da 28. Ol du ðu na gö re öð ren ci sa yý sý 28 den bü yük tür. Öð ren ci sa yý -
sý, x 17 ise 28 < 2x + 1 35 ola cak týr. Bir de ya rýþ ma cý öð ren ci sa yý sý 3 ün ka tý
olmasý ve her okuldan 3 öðrenci katýlmasý 28 < 2x + 1 35 þar tý ný sað la yan, üçün
ka tý ve tek sa yý olan sa yý 33 tür. O hal de ya rýþ ma ya ka tý lan okul sa yý sý 11 dir.

252 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk
252