Page 191 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

M = (a + a + a a +1)(a + 1)...(a + 1) = (a + 1)(a + 1)(a + 1)...(a + 1) = M
1 2 1 2 3 k 1 2 3 k
olur. Ya ni Bu ra da M de ðe ri de ðiþ me mek te dir. So ru da ve ri len de ðer le ri

M = (a + a + a a )(a + 1)...(a + 1) de a = 1, a = 2, …, a = 20 þek lin de ye -
1 2 1 2 3 k 1 2 20
ri ne ya zar sak,

M = (1 + 1)(2 + 1)(3 + 1)...(20 + 1) = 21! el de edi lir. Tah ta da ka lan sa yý ise,
n = M – 1 = 21! – 1 olur.

r nek:
Ö Ör nek:

Düz gün A A A …. A n-ge ni nin A kö þe sin de üç ta ne ka rýn ca bu lun mak ta dýr. Her
1 2 3 n 1
bir da ki ka da üç ka rýn ca dan iki si bir bir le ri ne zýt yön de (bi ri sa at yö nün de di ðe ri sa at yö nü -
nün ter si ne) bu lun duk la rý kö þe den kom þu kö þe ye ha re ket edi yor lar. Ýki si yer de ðiþ ti rir ken
di ðe ri ye rin de ka lý yor. n nin han gi de ðer le ri için bel li bir za man son ra tüm ka rýn ca lar A
1
den fark lý bir kö þe de top la na bi lir ler?
Çö züm:
Çö züm:
Ka rýn ca lar bel li bir sü re son ra A , A , A kö þe le rin de ol sun lar. Ký sa ca i, j, k da ol sun lar.
i j k
Üç ka rýn ca dan ha re ket eden iki si bir da ki ka son ra i – 1 ve j + 1 de olur lar. Ka rýn ca la rýn
bir da ki ka ön ce bu lun duk la rý kö þe le rin nu ma ra la rý i + j + k (mod n) olup bir da ki ka son -
ra yi ne i + j + k (mod n) dir. Ya ni ka rýn ca la rýn bu lun du ðu kö þe le rin top la mý (mod n) e gö -
re de ðiþ me mek te dir. Ýlk baþ ta ka rýn ca la rýn bu lun du ðu kö þe nin nu ma ra la rý top la mý 3 ol du -
ðu açýk týr. O hal de bel li bir sü re son ra bu þe kil de ki ha re ket le ri nin so nun da bu lun duk la rý
kö þe le rin nu ma ra la rý top la mý (mod n) e gö re 3 ola cak týr. Tüm ka rýn ca la rýn A de ya ni s de
s
top lan dý ðý ný var sa ya lým. Ka rýn ca la rýn bu lun du ðu kö þe le rin top la mý 3s olur. 3s 3 (mod n)
dir. 3s 3 (mod n) n|3s – 3 dir. ebob(n, 3) = 1 ise n|(s – 1)? ise 1 s n ol du ðun dan
sa de ce s = 1 ola bi lir. Ya ni tüm ka rýn ca lar 1 dý þýn da bir yer de top la na maz. Þim di Ka rýn ca -
la rýn n = 3s ol du ðun da bu kö þe de top la na bi le cek le ri ni gös te re lim.1. ka rýn ca 2 ye, 2. Ka -
rýn ca 3s ye git sin. Ay ný ham le yi s – 1 kez da ha de vam et ti re lim. 1. Ka rýn ca s + 1 e, 2. Ka -
rýn ca 2s + 1 gi der. 3. Ka rýn ca 1 de ka lýr. Þim di 3. ka rýn ca 2 ye, 2. Ka rýn ca 2s ye git sin. Bu
ham le yi s – 1 kez da ha de vam et ti re lim. 2. Ka rýn ca s + 1 e, 3. Ka rýn ca da s + 1 e gi der. Ya -
ni tüm ka rýn ca lar s + 1 de top la nýr lar.

190 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk