Page 188 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

9. BÖLÜM DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

r nek:
Ö Ör nek:

Bir çem ber üze rin de eþit ara lýk ta 1002 nok ta alý na rak sa at
yö nü nün ter sin de 1, 2, 3, …, 1001, 1002 þek lin de nu ma ra lan -

dý rýl mýþ týr. 1 nok ta sýn da bu lu nan ve her sýç ra yý þýn da 3 ara lýk
iler le yen (1, 4, 7, ... gi bi) bir kur ba ða, kaç sýç ra yýþ tan son ra
1001 nok ta sýn da olur?

Çö züm:
Çö züm:
Bu kur ba ða nýn uð ra dý ðý nok ta lar 1, 4, 7, … nu ma ra lý nok ta lar dýr.
Ya ni, k = 0, 1, 2, 3, … için kur ba ða nýn uð ra dý ðý nok ta lar 3k + 1 for mun da ki nok ta lar -
dýr. 1002 = 3.334 ol du ðun dan, tek rar dö nü þün de kur ba ða yi ne 1 nok ta sýn dan tu ru na de -
vam ede cek tir. O hal de kur ba ða nýn uð ra ya ca ðý nok ta lar de ðiþ me mek te dir. Ya ni kur ba ða
hiç bir za man 1001 nu ma ra lý nok ta ya uð ra ma ya cak týr.

r nek:
Ö Ör nek:
Tah ta ya se ki zi 0 ve 7 si 1 ol mak üze re 15 ra kam ya zýl mýþ týr. Her adým da iki sa yý si li ni -
yor ve tah ta ya, si li nen sa yý lar ay nýy sa 0, fark lýy sa 1 ya zý lý yor. 14 adým son ra sýn da tah ta da
ka lan sa yý ne olur?
Çö züm:
Çö züm:
Bir adým da si li nen iki sa yý (0, 0), (0, 1), (1, 1) ola bi lir. Si li nen sa yý la rýn iki si de 0 (sý fýr)
ise bun la rýn ye ri ne sý fýr ya zý la ca ðýn dan tah ta da ki tüm sa yý la rýn top la mý de ðiþ mez. Si li nen
sa yý nýn bi ri 1 di ðe ri 0 ise si li nen sa yý la rýn ye ri ne 1 ya zý la ca ðýn dan top lam yi ne de ðiþ mez.
Si li nen sa yý la rýn iki si de 1 ise si li nen sa yý la rýn ye ri ne 0 ya zý la ca ðýn dan top lam 2 ek si le cek -
tir. Bu na gö re her du rum da top lam mod2 de de ðiþ mez. Baþ lan gýç ta bu top lam 7 1
(mod2) ol du ðun dan tah ta da ki son sa yý da sa de ce 1 ola bi lir.

r nek:
Ö Ör nek:
Baþ lan gýç ta boþ olan bir oda ya her bir da ki ka da ya bir ki þi gi ri yor ya da oda dan iki ki þi
ay rý lý yor. 3 1999 da ki ka nýn so nun da oda da 3 1000 + 2 ki þi nin ol ma sý müm kün mü dür?

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 187