Page 159 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

GÜVERCÝN YUVASI PRENSÝBÝ

2
Şimdi, a , a , a , ..., a sayılarının a = p formunda olması durumuna bakalım.
1 2 3 15 i
2
2
p < p < ... p 2 <2015 ise p 2 ≤ 44 olur. Fakat 44 ten küçük 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
1 2 15 15
19,23,29,31, 37, 41,43 şeklinde 14 tane asal sayı vardır. Bu durum içinde 15 farklı asal sayı
bulunamamıştır. n > 2 için aranan durumun gerçekleşmemesi açıktır. Elde edilen
durum, “farz edelim a , a , a , ..., a sayılarının hiç biri asal olmasın” ile çeliştiğinden,
1 2 3 15
2015'den küçük ve 1'den büyük olup ikişer ikişer aralarında asal olan her 15 pozitif tam
sayıdan en az biri asaldır.

r nek:
Ö Ör nek:
n ki þi lik bir grup ta ay ný sa yý da ar ka da þa sa hip iki ki þi nin var lý ðý ný gös te ri niz.
Çö züm:
Çö züm:
Grup ta ki bir ki þi nin en faz la n – 1 ar ka da þý ola bi le cek ken en az da 0 (sý fýr) ar ka da þý ola -
bi lir. Þa yet her ke sin en az bir ar ka da þý var sa, bu na gö re n ki þi nin ar ka daþ sa yý sý 1 ile n – 1
ara sýn da (1 ve n – 1 da hil) de ði þe cek tir. Gü ver cin yu va sý pren si bi ne gö re, en az iki ki þi nin
ar ka daþ sa yý sý ay ný dýr. Ya ni n ki þi n – 1 ku tu ya da ðý tý lýr sa, Gü ver cin Yu va sý Pren si bin ce en
az bir ku tu da en az iki ki þi bu lu na cak týr. Þa yet grup ta ki ler den bi ri nin ar ka da þý yok sa ge ri -
ye ka lan n – 1 ki þi nin ar ka daþ sa yý sý 0 ile n – 2 ara sýn da ola cak týr. Bun lar dan bi ri nin ar ka -
daþ sa yý sý 0 (sý fýr) ise ara nan du rum el de edil miþ olur. Þa yet 1 ile n – 2 ara sýn da ise yi ne
ay ný þe kil de n – 1 ki þi n – 2 ku tu ya da ðý tý lýr sa, Gü ver cin Yu va sý Pren si bin ce en az bir ku -
tu da en az iki ki þi bu lu na cak týr.

r nek:
Ö Ör nek:
{1, 2, 3, …, 2014} kü me si nin ele man la rýn dan her bi ri fark lý ka ðýt lar üze ri ne ya zý la rak
bir ku tu ya ko nu yor. Ku tu dan rast ge le 6 kâðýt çe kil di ðin de bun la rýn için de iki si nin far ký 5
ile bö lü nen sa yý iki li si nin gel me si ola sý lý ðý ne dir?

A) B) C) D) E) 1

Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
Bir sa yý nýn 5 ile bö lü mün den ka lan lar {0, 1, 2, 3, 4} ola bi lir. Bu na gö re, 6 sa yý nýn se -
çil me si de mek mod5 e gö re, Gü ver cin Yu va sý Pren si bin den, ay ný iki sa yý nýn gel miþ ol ma sý
de mek tir. Bu da iki si nin far ký 5 in ka tý olan iki sa yý nýn çe kil miþ ol ma sý de mek tir. O hal de,
ku tu dan rast ge le çe ki len 6 ka ðý dýn üze rin de ki sa yý lar dan iki si nin far ký 5 ile bö lü nen sa yý
iki li si nin gel me si ola sý lý ðý 1 dir.

158 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk