Page 158 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

7. BÖLÜM GÜVERCÝN YUVASI PRENSÝBÝ

Çö züm:
Çö züm:
n en az 13 ol du ðun da is te nen du ru mun ger çek le þe ce ði ni gös te re lim. Bir yýl on iki ay
ol du ðun dan, her bir ki þi fark lý ay da doð sa bi le Gü ver cin Yu va sý Pren si bin ce, n = 13 ol du -
ðun da 13. ki þi di ðer on iki ki þi den bi ri siy le ay ný ay da doð muþ ola cak týr.

r nek:
Ö Ör nek:
Ah met'in çek me ce sin de çok sayıda kýr mý zý, ma vi, sa rý ve la ci vert özdeş bilyeler var dýr.
Ah met aynı renkte her han gi iki bilye çek miþ ol ma yý ga ran ti le mek için çek me ce sin den en
az kaç bilye çek me li dir?

Çö züm:
Çö züm:
Ah met'in aynı renkte herhangi 2 bilye çek miþ ol ma yý ga ran ti le me si için en az beþ ço -
rap çek me li dir ki, dört fark lý renk ten son ra be þin ci si, gü ver cin yu va sý pren si bi ge re ði dört
renk ten bi ri ola cak týr.

Ö Ör nek:
r nek:
2015'den küçük ve 1'den büyük olup ikişer ikişer aralarında asal olan her 15 pozitif tam
sayıdan en az birinin asal olduğunu kanıtlayınız.

Çö züm:
Çö züm:
{a , a , a , ..., a } kümesini alalım öyle ki, a <a <a < ... <a < 2015 ve bu
1 2 3 15 1 2 3 15
kümenin iki elemanlı tüm alt kümelerindeki sayılar kendi aralarında asaldır. Farz edelim
ki a , a , a , ..., a sayılarının hiç biri asal olmasın. Bu sayıların herhangi ikisi aralarında
1 2 3 15
asal olduğundan, alınan iki sayıda ortak asal çarpan olamaz. Ayrıca bu sayılar asal olmasın
dediğimiz için a = p n veya a = p α 1.p α 2. ... .p α n formunda olmalıdır. Bu 15 sayıdan
i i 1 2 n
birinin en az 3 tane farklı asal böleni olsun. Bu sayının herhangi iki asal böleni p ve p için
1 2
bu sayı yerine p ve p alırsak sorudaki şart yine sağlanır. Çünkü sayılar aralarında asal
1 2
olduğu için p ve p bölenleri başka bir sayıda geçmiyor ve yeni sayımız diğer 14 sayıyla da
1 2
aralarında asal. Ayrıca daha küçük bir sayı aldığımız için 2015’ten büyük olması mümkün
değil. Dolayısıyla yeni aldığımız 15 sayı da sorudaki şartı sağlar.
n
2
Eğer bir sayı p formundaysa onun yerine de p alalım. Benzer şekilde sorudaki şartı boz-
2
mamış oluruz. Sayıların tüm asal bölenleri farklı olduğundan dolayı p p yerine p alırsak şart
1 2 1
2
2
bozulmamış olur (p <p için). Yani eğer bu şartı sağlayan 15 sayı varsa, p , p , ..., p 2 for-
1 2 1 2 15
munda olup da sorudaki şartı sağlayan 15 tane p , p , ..., p asal sayıları da vardır.
1 2 15
Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 157