Page 128 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

5. BÖLÜM BÝNOM AÇILIMI

Çö züm:
Çö züm:
5
3
7 100
(1 + x + x + x ) ifadesinin açýlýmýnda x 18 in katsayýsý,
için k + k + k + k = 100 ve 3k + 5k + 7k = 18
1 2 3 4 2 3 4

olmalýdýr. 3k + 5k + 7k = 18 denkleminin negatif olmayan tam sayýlarda çözümünü
3
2
4
bulalým.
3k + 5k + 7k = 18 denkleminin negatif olmayan tam sayýlardaki çözümü;
2 3 4
v) k = 6 için k = 0 ve k = 0 olup k + k + k + k = 100 olmasý için k = 94
2 3 4 1 2 3 4 1
olur.
vi) k = 2 için k = 1 ve k = 1 olup k + k + k + k = 100 olmasý için k = 96
2 3 4 1 2 3 4 1
olur.
vii) k = 1 için k = 3 ve k = 0 olup k + k + k + k = 100 olmasý için k = 96
2 3 4 1 2 3 4 1
olur.
Buna göre, x 18 ün katsayýsý;

Ö Ör nek:
r nek:
n doðal sayýsýnýn doðal sayýlarýn toplamý þeklinde yazýmlarýndan her birine n nin bir
bileþimi denir. P(n); n nin her bir bileþimindeki sayýlarýnýn adetleri toplamý olsun. Örneðin
3 sayýsýnýn bileþimleri; 3, 1 + 2, 2 + 1, 1 + 1 + 1 olup bu bileþimdeki sayýlarýn adetleri
sýrasýyla 1, 2, 2, 3 tür. P(3) = 1 + 2 + 2 + 3 = 8 dir. Buna göre P(9) kaçtýr?
Çö züm:
Çö züm:
1 k n olmak üzere, yan yana n tane 1 yazalým ve bunlarýn arasýndaki n – 1 yerden
k – 1 tanesini seçerek, seçilen yere + iþareti yazarsak, sayýyý k parçaya ayýrmýþ oluruz.
Durumu 3 sayýsý için örnekleyelim,
k = 0 için sayýmýz 111 den 3 olur.

k = 1 için sayýmýz 1 + 11 veya 11 + 1 den 2, 1 veya 1, 2 olur.
k = 2 için sayýmýz 1 + 1 + 1 den 1, 1, 1 olur. Bu da dört durum demektir.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 127