Page 390 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 5.2 BÝNOM AÇILIMI

16. (x + y + z) 2006 + (x – y – z) 2006 ifa de le ri açý lýp, ge rek li dü zen le me ler ya pýl dý ðýn da el -
de edi len en sa de ya zý lým da ki te rim sa yý sý ne olur?
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)
2
2
(x + y + z) + (x – y – z) ifa de le ri ni açýp en sa de þe kil de ya zar sak,
2
2
2
2
2
2
(x + y + z) = x + 2x(y + z) + y + 2yz + z = x + 2xy + 2xz + y + 2yz + z 2
2
2
2
2
2
2
ve (x – y – z) = x – 2x(y + z) + y + 2yz + z = x – 2xy – 2xz + y + 2yz + z 2
2
2
2
2
2
olup bu iki si nin top la mý, (x + y + z) + (x – y – z) = 2x + 2y + 2z + 4yz ede
edi lir. Bu da açý lý mýn en sa de ha lin de dört te rim ol du ðu nu gös te rir.
(x + y + z) 2006 + (x – y – z) 2006 açý lý mý þeklin -
de ya zý la bi lir.
Bu ra da b tek ve c çift ol du ðun da ve ya c tek b çift ol du ðun da (x + y + z) 2006 dan ge -
len te rim le (x – y – z) 2006 ge len te rim ler den ba zý la rý bir bi ri ni gö tü rür. a + b + c = k
denk le mi nin do ðal sa yý lar da ki çö züm sa yý sý ol du ðun dan, nor mal de
açý lý mýn da ki te rim sa yý sý,
a nýn tek, b nin çift ol ma sý du ru mun da a tek olur. a = 2A + 1, b = 2B + 1, c = 2C için

a + b + c = 2A + 1 + 2B + 1 + 2C = 2006 ise A + B + C = 1002 dir. Bu denk le min

do ðal sa yý lar da ki çö züm sa yý sý ise, dir. Bu na gö re, tüm du rum la rýn sa yý sýn dan

A + B + C = 1002 çö züm sa yý sý nýn iki ka tý ný çý kar dý ðý mýz da ara nan du rum el de edil -

miþ olur. Bu da,

17. top la mý ný bu lu nuz.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 389