Page 514 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 11.2 OYUN STRATEJÝLERÝ

Çö züm:
Çö züm:
a) N tek ise Ay þe ka za nýr. Bi ri si tah ta ya tek sa yý ya zar sa di ðe ri çift sa yý yaz mak zo -
run da dýr. Bu rak bir çift sa yý yaz dý ðýn da Ay þe hep 1 faz la sý ný ya zar. Böy le ce N tek
ol du ðu için Bu rak ka za na maz. Ya ni N = 2011 için Ay þe ka za nýr.
b) N = 4k ol sun. Bi ri si m {K + 1, K + 2, ..., 2K} sa yý la rýn dan bi ri ni ya zar sa kay -
be der. Çün kü di ðe ri 2m {2k + 2, 2K + 4, ..., 4K} sa yý la rýn dan bi ri ni ya zar. Bun -
dan son ra hep 1 art týr mak zo run da ol duk la rý için m sa yý sý ný ya zan kay be der. Bu
yüz den N = K için ka za nan N = 4k için de ka za nýr.
Ben zer þe kil de N = 4k + 2 ol sun. Bi ri si m {k + 1, k + 2, ..., 2k + 1} sa yý la rýn dan
bi ri ni ya zar sa di ðe ri 2m {2k + 2, 2k + 4, ..., 4k + 2} sayýlarýndan birini yazar.
Bundan sonra hep 1 arttýrmak zorunda olduklarý için m sayýsýný yazan kaybeder. Yani
N = K için kazanan N = 4k + 2 için kazanýr.
Ayþe N = 1, 3 deðerleri için, Burak ise N = 2 için kazanýr. Böylece Burak N = 8,
10 ve N = 32, 34, 40, 42 deðerleri için de kazanýr. 128 N 170 deðerlerinen 8 tane-
si için Burak kazanýr. Son olarak 512 N 682 deðerlerinden 16 tanesi için Burak
kazanýr. Yani N 2011 için Burak 31 N sayýsý için kazanýr.

15. Nihal ve Neval’in toplam 1001 þekeri var. Önce Neval þekerleri 3 öbeðe ayýrýyor sonra
da Nihal bu öbeklere bakarak bir 1 N 1001 sayýsý seçiyor. Sonra Neval öbeklerden
þeker alıp 4. bir öbek oluþturuyor. Bu iþlemden sonra bir veya birkaç öbekteki taþlarýn
toplamý N oluyor. Sonra Neval ilk 3 öbekteki þekerlerini kendine olıp 4. öbekteki þek-
erleri Nihal’e veriyor. ikisi de en çok þekere sahip olmak istedikleri için Nihal en az
kaç þeker almayý garantileyebilir?
Çö züm:
Çö züm:
1001 uzunluðunda bir doðru parçasý düþünelim. Sonra O, A, B, C, A + B, B + C,
C + A, 1001 noktalarýna iþaret koyalým. (A, B, C öbeklerdeki þeker sayýsý olsun.)
Þimdi bu doðru parçasýna N noktasýný iþaretleyelim. N noktasýna en yakýn olan iþaretli
noktanýn uzaklýðý 4. öbekteki þekerlerin sayýsý olmalýdýr. Yani Nihal iþaretli noktalardan
uzak bir nokta seçmelidir. Bu yüzden Neval en büyük uzaklýðý minimum yapmalýdýr. {A,
B, C} = {143, 286, 572} seçerse tüm uzaklýklar 143 olur. Yani Nihal en fazla 71 þeker

alabilir. Toplam 7 uzaklýk olduðundan en az olan bir uzaklýk vardýr.

Yani Nihal her zaman 71 þeker almayý garantileyebilir.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 513